10. Sınıf Meb Yayınları Matematik Ders Kitabı Sayfa 307’deki soruların çözümlerine bu yayından ulaşabilirsiniz. Derslerinizi kolayca tamamlamanız için hazırlanan bu içerik, soruları anlamanıza ve çözmenize yardımcı olacaktır.
İçindekiler
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 307 Çözümleri
Soru 3: Seramik Fabrikasında Fayans Üretimi ve Kâr Optimizasyonu
Bir seramik fabrikasında üretilen kare şeklindeki fayansların maliyeti alanına, satış fiyatı ise çevresine göre hesaplanmaktadır. Birimkare başına maliyet 3 TL, birim başına satış fiyatı ise 12 TL’dir.
a) Fayans Satışından Elde Edilen Kârın En Fazla Olması İçin Fayans Uzunluğu
Fayansın kenar uzunluğu ‘x’ birim olsun. Fayansın alanı $x^2$ olur. Maliyet fiyatı $3x^2$ TL’dir. Fayansın çevresi $4x$ olur. Satış fiyatı $12 imes 4x = 48x$ TL’dir. Kâr, satış fiyatı eksi maliyet fiyatıdır: $K(x) = 48x – 3x^2$. Kârın en fazla olması için türevini alıp sıfıra eşitleriz: $K'(x) = 48 – 6x$. $48 – 6x = 0$ ise $6x = 48$ ve $x = 8$ birim olur. Yani fayansın uzunluğu 8 birim olmalıdır.
b) Bir Fayanstan Elde Edilen Maksimum Kâr
Fayansın uzunluğu 8 birim olduğunda elde edilen kârı hesaplamak için $K(x) = 48x – 3x^2$ fonksiyonunda $x=8$ değerini yerine koyarız: $K(8) = 48(8) – 3(8^2) = 384 – 3(64) = 384 – 192 = 192$ TL. Bir fayanstan elde edilen kârın en fazla 192 TL olması beklenir.
c) Kârın En Yüksek Olduğu Anda Üretim ve Satış Maliyetleri
Kârın en yüksek olduğu durum için fayansın kenar uzunluğu 8 birimdir.
- Üretim Maliyeti: Maliyet $3x^2$ idi. $x=8$ için üretim maliyeti $3 imes 8^2 = 3 imes 64 = 192$ TL’dir.
- Satış Maliyeti: Satış fiyatı $48x$ idi. $x=8$ için satış fiyatı $48 imes 8 = 384$ TL’dir.
Soru 4: Asma Köprü Halatının Parabolik Grafiği
Bir asma köprünün ayakları arasındaki mesafe 160 metredir. Ayaklar, halatla parabol şeklinde bağlanmıştır. Ayakların köprü üzerindeki yüksekliği 200 metredir. Köprü merkezinde halatın köprüye en yakın mesafesi 40 metredir. Köprü merkezini orijin (0,0) kabul edelim.
a) Halatın İfade Ettiği Grafiğin Cebirsel İfadesi
Parabol denklemi $y = ax^2 + k$ veya $y = a(x-h)^2 + k$ şeklindedir. Köprü merkezini orijin kabul ettiğimiz için tepe noktası $(0, 40)$ olacaktır (halatın köprüye en yakın olduğu nokta). Bu durumda denklem $y = ax^2 + 40$ şeklinde olur. Ayakların konumu köprü merkezinin 80 metre sağında ve solundadır (160m / 2). Ayakların üzerindeki noktalar $(80, 200)$ ve $(-80, 200)$ olur. Bu noktalardan birini denklemde yerine koyarak ‘a’ katsayısını bulabiliriz. $(80, 200)$ noktasını kullanalım: $200 = a(80)^2 + 40$. $160 = a(6400)$. $a = 160 / 6400 = 16 / 640 = 1 / 40$. Dolayısıyla halatın ifade ettiği cebirsel ifade: $y = rac{1}{40}x^2 + 40$ olur.
b) Fonksiyonun Teklik-Çiftlik Durumu
Fonksiyonumuz $f(x) = rac{1}{40}x^2 + 40$’dır. Teklik-Çiftlik durumunu belirlemek için $f(-x)$’i hesaplarız: $f(-x) = rac{1}{40}(-x)^2 + 40 = rac{1}{40}x^2 + 40$. Bu, $f(x)$’e eşittir. Yani $f(-x) = f(x)$’tir. Bu durum, fonksiyonun çift bir fonksiyon olduğunu gösterir. Grafiksel olarak, çift fonksiyonlar y eksenine göre simetriktir. Bu parabol de y eksenine göre simetriktir, bu da merkezden eşit uzaklıktaki noktaların aynı yüksekliğe sahip olmasını sağlar.
Soru 5: Ev Planında Yatak Odası Alanının Maksimizasyonu
Oturma odası, yatak odası ve mutfaktan oluşan dikdörtgen bir evin planı verilmiştir. Evin çevresi 40 m’dir. Mutfak, uzun kenarı kısa kenarının 3 katı olan bir dikdörtgendir. Oturma odası kare şeklindedir. Yatak odasının alanının en büyük olması hedeflenmektedir.
a) Oturma Odasının Bir Kenarının Uzunluğu
Evin genel boyutlarını ve iç odaların boyutlarını belirleyerek yatak odasının alanını maksimize etmeye çalışmalıyız. Bu tür optimizasyon problemleri genellikle alanın bir fonksiyonunu türev alarak veya geometrik kısıtlamaları kullanarak çözülür. Detaylı bir geometrik analiz ve denklem kurma gerektirir. Ancak, bu tür bir problemde genellikle alanın maksimize edilmesi için odaların boyutlarının belirli bir oranda olması beklenir. Bu sorunun tam çözümü için odaların birbirine nasıl yerleştiğini gösteren bir diyagrama ihtiyaç vardır. Genellikle kare şeklinde bir oturma odası ve belirli oranlara sahip mutfak ile evin toplam çevresi dikkate alındığında, alan maksimizasyonu için odaların boyutları arasında belirli bir ilişki kurulur. Bu sorunun çözümü için ek bilgilere veya görselin kendisine ihtiyaç duyulmaktadır.
b) Yatak Odasının Maksimum Alanı
Bu şık da, a şıkkındaki bilgilere ve evin genel planına bağlıdır. Oturma odasının bir kenarının kaç birim olması gerektiği bulunduktan sonra, evin geri kalan boyutları ve mutfağın oranı dikkate alınarak yatak odasının alanı hesaplanabilir. Bu tür bir problemde, oda boyutlarını en uygun hale getirerek yatak odası için ayrılacak alanı maksimize etmek amaçlanır. Bu sorunun tam çözümü için de detaylı bir plan ve hesaplama gereklidir.
10. Sınıf Meb Yayınları Matematik Ders Kitabı Sayfa 307 ile ilgili sorularınızın çözümlerini yukarıda bulabilirsiniz. Bu içerik hakkında duygu ve düşüncelerinizi belirtebilir, sosyal medyada paylaşarak bize destek olabilirsiniz.
