Bu içerik, 10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Sayfa 384 MEB Yayınları’na ulaşmak ve derslerinizi kolayca tamamlamak isteyen öğrenciler için hazırlanmıştır. Aşağıda, kitaptaki alıştırmaların çözümlerini ve açıklamalarını bulabilirsiniz.
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları MEB Yayınları Sayfa 384
Alıştırmalar
Soru 1: Bir kayak merkezindeki teleferik kabinlerinin hareketi, dik koordinat sistemiyle modellenen bir bilgisayar programı tarafından takip edilmektedir. Teleferik, eğimli düz bir hat boyunca ilerlemektedir. Kabinlerin konumları (x, y) koordinatları ile ifade edilirken x yatay mesafeyi, y ise dikey mesafeyi temsil etmektedir. Program, üç kabinin konumlarını A(16, -5), B(10, -3) ve C(x, 1) olarak belirlemiştir. Bu bilgilere göre aşağıdaki soruları yanıtlayınız:
a) C noktasındaki kabinin apsisini gösteren x değerini bulunuz.
Bu soruyu çözmek için A, B ve C noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu varsayarak eğimden yararlanabiliriz. A(16, -5) ve B(10, -3) noktaları arasındaki eğim hesaplanır:
Eğim (m) = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (-3 – (-5)) / (10 – 16) = (2) / (-6) = -1/3
Şimdi B(10, -3) ve C(x, 1) noktaları arasındaki eğimi kullanarak x değerini bulabiliriz:
Eğim (m) = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (1 – (-3)) / (x – 10) = (4) / (x – 10)
Bu eğim de -1/3 olmalıdır:
-1/3 = 4 / (x – 10)
Çapraz çarpım yaparak:
-1 * (x – 10) = 3 * 4
-x + 10 = 12
-x = 2
x = -2
Yani C noktasındaki kabinin apsisi -2‘dir.
b) A noktasındaki kabin, B noktasına gelinceye kadar yatayda 24 metre ilerleyeceğine göre B noktasındaki kabinin C noktasına gelinceye kadar dikeyde kaç metre yükseleceğini bulunuz.
Bu soruda bir hata var gibi görünüyor. Soruda verilen bilgilerde A’dan B’ye yatay ilerleme miktarı zaten bellidir: A(16, -5) ve B(10, -3). Yatay mesafe A’dan B’ye 16 – 10 = 6 birimdir. Eğer soruda ‘A noktasındaki kabin, B noktasına gelinceye kadar yatayda 24 metre ilerleyeceğine göre’ ifadesiyle kastedilen, aslında farklı bir senaryo veya birim dönüşümü ise, bu netleştirilmelidir. Mevcut bilgilerle, kabinlerin konumları arasındaki mesafe hesaplanabilir.
Ancak, sorunun mantığına göre, eğer A’dan B’ye yatayda 24 metre ilerleme olsaydı, bu B’den C’ye ilerlemeyle ilgili bir ilişki kurmak için kullanılabilir. Eğer soruda A noktasından B noktasına gelinceye kadar geçen süre boyunca yatayda 24 metre ilerlediği varsayılırsa, bu kabinin hızını dolaylı olarak ifade eder. Ancak soruda bu bilgi, B’den C’ye dikey yükselişi hesaplamak için kullanılıyor. Sorunun orijinal ifadesiyle devam edersek, A(16, -5) ve B(10, -3) arasındaki yatay fark 6 birimdir. B(10, -3) ve C(-2, 1) arasındaki yatay fark ise 10 – (-2) = 12 birimdir.
Soruda verilen ‘A noktasındaki kabin, B noktasına gelinceye kadar yatayda 24 metre ilerleyeceğine göre’ ifadesi, eğer bir ölçeklendirme veya farklı bir durum senaryosu ise, bu bilgi B’den C’ye dikey yükselişi hesaplamak için kullanılabilir. Ancak, bu ifade mevcut koordinatlar ile çelişmektedir. Eğer soruyu, A’dan B’ye olan yatay mesafe (6 birim) 24 metreye karşılık geliyorsa şeklinde yorumlarsak, birim başına 4 metre düşer (24m / 6 birim = 4 m/birim).
B noktasındaki kabinin C noktasına gelinceye kadar dikeyde ne kadar yükseleceği soruluyor. B(10, -3) ve C(-2, 1). Dikey mesafe farkı: 1 – (-3) = 4 birimdir. Eğer 1 birim yatay ilerleme 4 metre ise, 4 birim dikey ilerleme 4 birim * 4 m/birim = 16 metre olur.
Alternatif Yorum: Eğer soruda kastedilen, A’dan B’ye olan hareketin bir süresini ve bu süredeki yatay ilerlemenin 24 metre olduğu ise, bu B’den C’ye olan hareket için de aynı süre zarfında geçerli olur. Ancak bu durumda da B’den C’ye olan yatay mesafe 12 birimdir. Bu da bir tutarsızlık yaratır.
Sorunun orijinal metnine sadık kalarak, B’den C’ye dikey yükseliş miktarını bulmak için, B ve C noktalarının dikey koordinatları arasındaki farkı kullanırız: 1 – (-3) = 4 birim. Eğer bu 4 birimlik yükseliş, ‘yatayda 24 metre ilerleme’ ile orantılı bir durum yaratıyorsa, bu orantı kurulmalıdır. Ancak, sorunun kurgusu gereği, B’den C’ye dikeyde kaç metre yükseleceği sorulduğunda, bu doğrudan dikey koordinat farkından hesaplanmalıdır. Sorunun ’24 metre ilerleme’ kısmı kafa karıştırıcıdır ve muhtemelen birim çevirimi veya hız/zaman ilişkisiyle ilgilidir, ancak net bilgi verilmemiştir. Mevcut koordinatlarla dikey fark 4 birimdir.
c) x ile y arasındaki ilişkiyi ifade eden denklemi yazınız.
Bu ilişki, teleferik kabinlerinin izlediği doğru üzerindeki noktaların denklemini ifade eder. Doğrunun eğimi m = -1/3 olarak hesaplanmıştı. Noktalardan biri B(10, -3) olsun. Doğrusal denklem y = mx + n formundadır. Eğim yerine -1/3 yazılır:
y = (-1/3)x + n
B noktasının koordinatlarını yerine koyarak n’yi bulalım:
-3 = (-1/3)(10) + n
-3 = -10/3 + n
n = -3 + 10/3 = -9/3 + 10/3 = 1/3
Dolayısıyla, x ile y arasındaki ilişkiyi ifade eden denklem:
y = (-1/3)x + 1/3
Bu denklemi 3 ile çarparak tam sayı formuna da getirebiliriz:
3y = -x + 1
x + 3y – 1 = 0
ç) Bu ilişkiyi temsil eden denkleme ait grafiği dik koordinat sistemi üzerinde gösteriniz.
Grafiği çizmek için iki nokta yeterlidir. A(16, -5) ve B(10, -3) noktalarını kullanabiliriz. Ayrıca C(-2, 1) noktasını da kullanabiliriz. Bu üç nokta, eğimi -1/3 olan bir doğru üzerinde yer alacaktır. Koordinat sisteminde bu noktalar işaretlenir ve bu noktalardan geçen düz bir çizgi çizilir. Doğrunun x eksenini kestiği noktayı bulmak için y=0 konulur: 0 = (-1/3)x + 1/3 => x = 1. Nokta (1, 0). Doğrunun y eksenini kestiği noktayı bulmak için x=0 konulur: y = (-1/3)(0) + 1/3 => y = 1/3. Nokta (0, 1/3).
Soru 2: Bir tabloyu duvara asmak için ipin dengeli bir şekilde çiviye takılması gerekmektedir. İpin uçları, tablonun üst köşelerinde bulunan iki sabit noktaya takılır. Ece, tablonun duvarda dengeli durabilmesi için matematiksel konumu bulmak istemektedir. İpin tabloya takılı olduğu noktalar A(2, 3) ve B(8, 7) olarak belirlenmiştir. Buna göre çivinin A ve B noktalarına göre hangi doğrunun üzerinde olması gerektiğini ve bu doğrunun denklemini bulunuz.
Tablonun dengede durabilmesi için çivinin, ipin iki ucunu birleştiren doğrunun orta noktasına veya bu doğruya dik olan bir doğru üzerinde olması gerekir. Soruda ‘hangi doğrunun üzerinde olması gerektiğini’ ifadesi, ipin iki ucunu birleştiren doğruyu kastetmektedir. Dolayısıyla, çivinin A(2, 3) ve B(8, 7) noktalarından geçen doğrunun üzerinde olması gerekir.
Öncelikle bu doğrunun eğimini hesaplayalım:
Eğim (m) = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (7 – 3) / (8 – 2) = 4 / 6 = 2/3
Şimdi doğrunun denklemini yazmak için noktalardan birini (örneğin A(2, 3)) ve eğimi kullanalım. Nokta-eğim formülü: y – y1 = m(x – x1)
y – 3 = (2/3)(x – 2)
Denklemi düzenleyelim:
y – 3 = (2/3)x – 4/3
Her tarafı 3 ile çarpalım:
3(y – 3) = 3 * [(2/3)x – 4/3]
3y – 9 = 2x – 4
Denklemi standart forma getirelim:
2x – 3y + 5 = 0
Dolayısıyla, çivinin A ve B noktalarını birleştiren 2x – 3y + 5 = 0 doğrusu üzerinde olması gerekir.
10. Sınıf Meb Yayınları Matematik Ders Kitabı Sayfa 384 ile ilgili çözümlerimiz bu şekildedir. Aşağıda bulunan emojileri kullanarak duygularınızı belirtebilir aynı zamanda sosyal medyada paylaşarak bizlere katkıda bulunabilirsiniz.
