11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Meb Yayınları Sayfa 178 içeriğimize hoş geldiniz! Bu sayfada, paraboller ve fonksiyonlar konusuna odaklanan soruların detaylı çözümlerini ve açıklamalarını bulacaksınız. Matematik dersindeki bu önemli kavramları pekiştirmek ve sınavlara daha iyi hazırlanmak için aşağıdaki soruları dikkatle inceleyin.
İçindekiler
Paraboller, ikinci dereceden fonksiyonların grafiksel gösterimleri olup, günlük hayatta köprü kemerlerinden uydu antenlerine kadar birçok alanda karşımıza çıkar. Fonksiyonlar ise matematikte iki küme arasındaki ilişkiyi tanımlayan temel yapı taşlarıdır. Bu bölümde, hem parabollerin özelliklerini hem de fonksiyonlarla ilgili çeşitli problemleri ele alacağız.
Paraboller ve Fonksiyonlar: Sayfa 178 Soruları ve Çözümleri
Soru 16: OABC Karesinin Çevre Uzunluğu
Soru: Yukarıda f:R → [-12,3), f(x) = x² – 12 biçimindeki f fonksiyonunun grafiği verilmiştir. B noktası parabol üzerinde, A ve C noktaları eksenler üzerindedir. Buna göre OABC karesinin çevre uzunluğu kaç birimdir?
A) 9
B) 12
C) 16
D) 20
E) 25
Çözüm ve Açıklama: OABC bir kare olduğundan, B noktasının koordinatları (k, k) şeklinde olmalıdır. Bu nokta parabol üzerinde yer aldığı için f(k) = k denklemini sağlamalıdır. Yani, k = k² – 12. Denklemi düzenlersek k² – k – 12 = 0 olur. Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırırsak (k-4)(k+3) = 0 elde ederiz. Karenin bir kenar uzunluğu pozitif olacağından k = 4 birimdir. Karenin çevre uzunluğu 4k olduğundan, Çevre = 4 * 4 = 16 birimdir.
Doğru Cevap: C) 16
Soru 17: TBC Üçgeninin Alanı
Soru: Analitik düzlemde tepe noktası T olan parabol; y eksenini A(0,3) noktasında, x eksenini B(-2,0) ve C noktalarında kesmektedir. ABC üçgeninin alanı 12 birimkare olduğuna göre TBC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 8
B) 12
C) 16
D) 20
E) 24
Çözüm ve Açıklama: ABC üçgeninin alanı 12 birimkare ve A noktasının y eksenindeki değeri (yüksekliği) 3 birimdir. Alan = (Taban * Yükseklik) / 2 formülünden, 12 = (BC * 3) / 2, dolayısıyla BC = 8 birim bulunur. B(-2,0) olduğundan, C noktasının x koordinatı 6 olmalıdır (x ekseni üzerinde 8 birim uzaklıkta). Parabolün tepe noktasının x koordinatı (r), x eksenini kestiği noktaların ortalamasıdır: r = (-2+6)/2 = 2. Parabol denklemi y = a(x+2)(x-6) şeklindedir. A(0,3) noktasını yerine koyarsak 3 = a(2)(-6) => a = -1/4 bulunur. Tepe noktasının y koordinatı (k) için x=2 değerini fonksiyonda yerine koyarız: k = -1/4 (2+2)(2-6) = -1/4 (4)(-4) = 4. Yani tepe noktası T(2,4) tür. TBC üçgeninin tabanı BC = 8 birim, yüksekliği ise T noktasının y koordinatı olan 4 birimdir. Alan(TBC) = (8 * 4) / 2 = 16 birimkaredir.
Doğru Cevap: C) 16
Soru 18: Maksimum Top Yüksekliği
Soru: Çevre haftası etkinlikleri kapsamında düzenlenen bir etkinlikte 3 kademeli bir top fırlatma makinesinden top fırlatılmaktadır. 1. kademede fırlatılan topun yerden yüksekliğinin (cm) zamana (sn.) bağlı değişimi, kuralı f(x) = –x² + 10x olan f fonksiyonu ile modellenmiştir. 2 ve 3. kademelerde topun maksimum yüksekliği, kendinden bir önceki kademedeki maksimum yüksekliğin %20 fazlasına çıkabilmektedir. Buna göre top fırlatma makinesi 3. kademede çalıştırıldığında topun çıkabileceği maksimum yükseklik kaç cm’dir?
A) 25
B) 28
C) 32
D) 36
E) 40
Çözüm ve Açıklama: f(x) = -x² + 10x parabolünün tepe noktasının y koordinatı (maksimum yükseklik) r = -b/(2a) formülüyle bulunur. r = -10/(2*(-1)) = 5. Maksimum yükseklik f(5) = -(5)² + 10(5) = -25 + 50 = 25 cm (1. kademe). 2. kademede bu yüksekliğin %20 fazlası: 25 * 1.20 = 30 cm. 3. kademede ise 2. kademenin %20 fazlası: 30 * 1.20 = 36 cm.
Doğru Cevap: D) 36
Soru 19: Parabol Grafiği İçin Yanlış İfade
Soru: f: R → R, f(x) = x² + 6x – 7 biçimindeki f fonksiyonunun grafiği için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) y eksenini A (0, – 7) noktasında keser.
B) Kolları yukarı doğrudur.
C) Simetri ekseni x = –3 doğrusudur.
D) Tepe noktası t(– 3, – 16) noktasıdır.
E) x eksenine teğettir.
Çözüm ve Açıklama:
- A) y eksenini A(0, -7) noktasında keser: x=0 için f(0) = 0² + 6(0) – 7 = -7. Bu ifade doğrudur.
- B) Kolları yukarı doğrudur: f(x) = x² + 6x – 7 fonksiyonunda baş katsayı (a) 1’dir ve 1 > 0 olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur. Bu ifade doğrudur.
- C) Simetri ekseni x = -3 doğrusudur: Simetri ekseni x = -b/(2a) formülüyle bulunur. x = -6/(2*1) = -3. Bu ifade doğrudur.
- D) Tepe noktası T(-3, -16) noktasıdır: x=-3 için f(-3) = (-3)² + 6(-3) – 7 = 9 – 18 – 7 = -16. Tepe noktası T(-3, -16)’dir. Bu ifade doğrudur.
- E) x eksenine teğettir: Bir parabolün x eksenine teğet olması için diskriminant (Δ) sıfır olmalıdır (Δ = b² – 4ac = 0). Burada Δ = 6² – 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64. Diskriminant sıfır olmadığı için parabol x eksenine teğet değildir, iki farklı noktada keser. Bu ifade yanlıştır.
Doğru Cevap: E) x eksenine teğettir.
Soru 20: X Eksenine Teğet Olma Durumu
Soru: f:R → R, f(x) = 2x² + 20x – a + 15 biçimindeki f fonksiyonunun grafiği x eksenine teğet olduğuna göre a gerçek sayısı kaçtır?
A) –30
B) –32
C) –33
D) –35
E) –40
Çözüm ve Açıklama: Bir parabolün x eksenine teğet olması için diskriminantı (Δ) sıfır olmalıdır. f(x) = ax² + bx + c formülünde Δ = b² – 4ac’dir. Burada a=2, b=20 ve c=(-a+15) dir. Denklemi kurarsak:
Δ = (20)² – 4(2)(-a + 15) = 0
400 – 8(-a + 15) = 0
400 + 8a – 120 = 0
280 + 8a = 0
8a = -280
a = -280 / 8
a = -35
Doğru Cevap: D) -35
Bu sayfadaki çözümler, 11. sınıf matematik ders kitabı paraboller ve fonksiyonlar konularını daha iyi anlamanıza yardımcı olmayı hedeflemektedir. Daha fazla ders materyali ve çözüm için sitemizi ziyaret etmeye devam edebilirsiniz.
